Первый премьер министр великобритании роберт пиль. Энциклопедия кольера - пиль роберт. На английском языке

Умозаключения делятся на следующие виды.

1. В зависимости от строгости правил вывода различают демонстративные (необходимые) и недемонстративные (правдоподобные) умозаключения. Демонстративные умозаключения характеризуются тем, что заключение в них с необходимостью следует из посылок, т.е. логическое следование в такого рода выводах представляет собой логический закон. В недемонстративных умозаключениях правила вывода обеспечивают лишь вероятностное следование заключения из посылок.

2. Важное значение имеет классификация умозаключений по направленности логического следования, т.е. по характеру связи между знанием различной степени общности, выраженному в посылках и заключении. С этой точки зрения различают три вида умозаключений: дедуктивные (от общего знания к частному), индуктивные (от частного знания к общему), умозаключения по аналогии (от частного знания к частному).

Дедуктивными (от латинского deductio - «выведение») называется умозаключение, в котором переход от общего знания к частному является логически необходимым.

Правила дедуктивного вывода определяются характером посылок, которые могут быть простыми (категорическими) или сложными суждениями. В зависимости от количества посылок дедуктивные выводы из категорических суждений делятся на непосредственные, в которых заключение выводится из одной посылки, и опосредствованные, в которых заключение выводится из двух посылок.

Виды дедуктивных умозаключений: чисто условные или гипотетические силлогизмы.

Это умозаключение и посылками и заключением, которого являются условные суждения. Если шарик нагреть, то он увеличиться в объёме. Если шарик увеличиться в объёме, то не пройдет в кольцо. Если шарик нагреть, то он не пройдёт в кольцо. Для того чтобы умозаключение было достоверным нужно ещё одна вещь - условия должны быть достаточными.

Условно-категорический силогизм - такое умозаключение, одной из посылок которого является условное суждение, а другой посылкой, а также заключением является простое категорическое суждение. Имеет 2 модуса: утверждающий и отрицающий.

Утверждающий (М Поненс) в утверждающем модусе в заключение производится утверждение истинности консиквента условной посылки, на основании утверждения истинны антицидента во 2-ой категорической посылке.

Если воду нагреть до 100 она закипит. Её нагрели. Она кипит.

Неправильный утверждающий модус.

Заключается в том, что модус лишь вероятностный. Если умный, то богатый. Богатый. Умный

Отрицающий (модус толенс).

Если золото, то блестит. Если не блестит. То не золото.

Неправильный утверждающий модус. Заключение лишь вероятностное.

Если дрова березовые, то они дают много тепла. Они не березовые. Они дают мало тепла.

Утверждающе-отрицающий. Во 2-ой посылке этого модуса производится утверждение одного и только одного члена дизъюнкции, а в заключении происходит отрицание всех остальных. Сдать экзамен можно либо на хорошо, либо отлично, либо удовлетворительно. Студент на экзамене получил хорошо. Значит не получил отлично и удовлетворительно.

Достоверное заключение из посылок следует тогда и только тогда, когда соблюдены следующие правила: разделительная посылка должна быть строго дизъюнкцией.

Отрицающе-утверждающий. Это значит, что во второй (отрицающей посылке) производится отрицание всех членов дизъюнкции, кроме одного и на этом основании в конце утверждается истинность одного и только одного члена дизъюнкции.

Правила: 1) Разделительная посылка не обязательно должна быть дизъюнкцией, но она должна содержать всевозможные альтернативы. Нарушение этого правила не гарантирует достоверности заключение. Состав простого суждения может быть либо P, либо S. Данная составная часть является S, следовательно она является P

Чисто разделительный силлогизм.

Это умозаключение и посылки и заключение которого являются разделительные (дизъюнктивные) суждения.

Экзамен можно сдать, либо не сдать

Можно сдать О,Х,У

Можно сдать О,Х,У, либо не сдать

Объясняется наличием строгой дизъюнкции в посылках.

Условно разделительный силлогизм. Дилемма.

Это умозаключение одной из посылок которого является условное суждение, другой посылкой и заключением - разделительное (строгая дизъюнкция). Поедешь на лево - коня, Направо - голову. Либо то, либо другое.

Дилемма - это вид условно-разделительного силлогизма в заключении которого утверждается 2-е альтернативы.

Познание в любой области науки и практики начинается с эмпирического познания. В процессе наблюдения однотипных природных и социальных явлений фиксируется внимание на повторяемости у них определенных признаков. Устойчивая повторяемость наводит на мысль (индуцирует), что каждый из таких признаков является не индивидуальным, а общим, присущим всем явлениям определенного класса. Логический переход от знания об отдельных явлениях к знанию общему совершается в этом случае в форме индуктивного умозаключения, или индукции (от латинского inductio - «наведение»).

Индуктивным называется умозаключение, в котором на основании принадлежности признака отдельным предметам или частям некоторого класса делают вывод о его принадлежности классу в целом.

Полная индукция - это умозаключение, в котором на основе принадлежности каждому элементу или каждой части класса определенного признака делают вывод о его принадлежности классу в целом.

Неполная индукция - это умозаключение, в котором на основе принадлежности признака некоторым элементам или частям класса делают вывод о его принадлежности классу в целом.

Неполнота индуктивного обобщения выражается в том, что исследуют не все, а лишь некоторые элементы или части класса - от Si до Sn. Логический переход в неполной индукции от некоторых ко всем элементам или частям класса не является произвольным. Он оправдывается эмпирическими основаниями - объективной зависимостью между всеобщим характером признаков и устойчивой их повторяемостью в опыте для определенного рода явлений. Отсюда широкое использование неполной индукции в практике. Так, например, во время уборки урожая заключают о засоренности, влажности и других характеристиках большой партии зерна на основе отдельно взятых проб. В производственных условиях по выборочным образцам заключают о качестве той или иной массовой продукции, например, моющих средств - в химической промышленности; труб, металлического листа, проволоки - в прокатном производстве; молока, круп, муки - в пищевой промышленности.

Индуктивный переход от некоторых ко всем не может претендовать на логическую необходимость, поскольку повторяемость признака может оказаться результатом простого совпадения.

Тем самым для неполной индукции характерно ослабленное логическое следование - истинные посылки обеспечивают получение не достоверного, а лишь проблематичного заключения. При этом обнаружение хотя бы одного случая, противоречащего обобщению, делает индуктивный вывод несостоятельным.

В науке и практических делах объектом исследования нередко выступают единичные, неповторимые по своим индивидуальным характеристикам события, предметы и явления. При их объяснении и оценке затруднено применение как дедуктивных, так и индуктивных рассуждений. В этом случае прибегают к третьему способу рассуждения -умозаключению по аналогии: уподобляют новое единичное явление другому, известному и сходному с ним единичному явлению и распространяют на первое ранее полученную информацию.

Например, историк или политик, анализируя революционные события в конкретной стране, уподобляет их ранее совершенной в другой стране сходной революции и на этой основе прогнозирует развитие политических событий. Так, русские политические деятели обосновывали свою идею о необходимости заключения в 1918 г. мирного договора с Германией (Брестский мир) ссылкой на сходную историческую ситуацию в начале XIX в., когда сами немцы заключили в 1807 г. кабальный договор с Наполеоном (Тильзитский мир), а затем через 6-7 лет, собравшись с силами, пришли к своему освобождению. Аналогичный выход предлагался и для России.

В такой же форме протекал вывод в истории физики, когда при выяснении механизма распространения звука его уподобили движению жидкости. На основе этого уподобления возникла волновая теория звука. Объектами уподобления в этом случае были жидкость и звук, а переносимым признаком - волновой способ их распространения.

Умозаключение по аналогии - это вывод о принадлежности определенного признака исследуемому единичному объекту (предмету, событию, отношению или классу) на основе его сходства в существенных чертах с другим уже известным единичным объектом.

Умозаключению по аналогии всегда предшествует операция сравнения двух объектов, которая позволяет установить сходства и различия между ними. При этом для аналогии требуются не любые совпадения, а сходства в существенных признаках при несущественности различий. Именно такие сходства служат основой для уподобления двух материальных или идеальных объектов.

Аналогия не является произвольным логическим построением, в ее основе лежат объективные свойства и отношения предметов реальной действительности. Каждый конкретный предмет, обладая множеством признаков, представляет не случайную их комбинацию, а определенное единство. Каким бы малочисленным ни был тот или иной признак, его существование и изменение всегда обусловлено состоянием других сторон предмета или внешних условий.

По характеру уподобляемых объектов различают два вида аналогии: (1) аналогию предметов и (2) аналогию отношений.

1) Аналогия предметов - умозаключение, в котором объектом уподобления выступают два сходных единичных предмета, а переносимым признаком - свойства этих предметов.

Примером такой аналогии может служить объяснение в истории физики механизма распространения света. Когда перед физикой встал вопрос о природе светового движения, голландский физик и математик XVII в. Гюйгенс, основываясь на сходстве света и звука в таких свойствах, как их прямолинейное распространение, отражение, преломление и интерференция, уподобил световое движение звуковому и пришел к выводу, что свет также имеет волновую природу.

Логической основой переноса признаков в аналогиях подобного рода выступает сходство уподобляемых предметов в ряде их свойств.

2) Аналогия отношений - умозаключение, в котором объектом уподобления выступают сходные отношения между двумя парами предметов, а переносимым признаком - свойства этих отношений.

Например, две пары лиц х и у, m и п находятся в следующих отношениях:

1) х является отцом (отношение Ri) несовершеннолетнего сына у;

2) m является дедом (отношение R2) и единственным родственником несовершеннолетнего внука п;

3) известно, что в случае родительских отношений (Ri) отец обязан содержать своего несовершеннолетнего ребенка. Учитывая определенное сходство между отношениями Ri и Ri, можно заключить, что для Rz тоже характерно отмеченное свойство, а именно обязанность деда в определенной ситуации содержать внука.

Чтобы разграничить между собой такие основные категории логики, как понятие, суждение, умозаключение и рассуждение, а также привести примеры, необходимо знать основы интеллектуальной познавательной деятельности человека.

Изучением этих основ занимается логика.

Задача логики – помочь человеку избавиться от заблуждений и научиться правильно рассуждать о вещах. При этом фундаментальная проблема, с которой работает логика, – изучение словесных знаков и процессов, которые позволяют при помощи слов выражать свои мысли.

В связи с тем, что понятие, суждение, умозаключение – три основных способа формирования мысли из слов, именно порядок возникновения, взаимодействия и структурирования этих основных категорий, представляет особый интерес при изучении мыслительных процессов.

Исследование форм мышления

Исследование мыслительных процессов основано исключительно на работе с абстрактными категориями. Это значит, что человек, познающий законы существования мысли, задействует тот познавательный алгоритм, который получает и обрабатывает информацию из уже имеющегося у исследователя массива знаний.

Человек не может увидеть, попробовать на вкус и запах слова, мысли и логические связки. Именно поэтому всю новую информацию об этих категориях он получает, обрабатывая знания, которые почерпнул ранее.

Кроме абстрактного мышления, есть еще наглядно-образное, которое в качестве материала для мыслительных процессов использует информацию, поступающую через органы чувств из внешнего мира.

Этот вид познавательной деятельности не сможет установить ничего нового про понятие, суждение, умозаключение.

Что касается абстрактного мышления, то для своих исследований оно использует такие инструменты:

• ранее полученные знания, опыт и человеческое воображение;
• поиск вариантов упрощения мыслительных процессов, для чего задействуются обобщения и выявления существующих закономерностей;
• формирование новых знаний происходит исключительно с использованием языковых средств.

Презентация: "Основные понятия логики. Логика-наука о формах мышления"

Что подразумевают под понятием

Понятие – это определение предмета при помощи одного или нескольких признаков.

Как формируются в человеческом сознании понятия, было известно еще Аристотелю.

Именно он первый зафиксировал, что, выделяя несколько схожих и отличительных признаков предмета, человек дает этому предмету определенное имя. И это имя используется им впоследствии для более упрощенного оперирования всем спектром признаков, которые свойственны данному предметы (и известны конкретному человеку).

При этом совершенно необязательно самостоятельно формировать понятия об окружающих вещах. С младенческих лет ребенка научают уже существующей в человеческом обществе системе понятий, чтобы он смог наладить взаимодействие с другими членами человеческого общества на основе общего лексического поля.

Однако известны и пути независимого формирования понятий на основе самостоятельно выявленных признаков – их анализ, синтез, обобщение и сравнение.

Исследование процессов формирования понятий

Хоть общая картина формирования понятий ясна уже давно, но с конкретизацией деталей и процессов дела обстоят не так просто.

Сегодня мы не имеем четкого понимания и описания интеллектуальных процессов, благодаря которым человек выделяет определенные свойства предметов, чтобы зафиксировать в своем сознании данный набор признаков для идентификации этого конкретного понятия.

Однако отсутствие общей картины не мешает подробно разбирать отдельные аспекты, которые со временем помогут восстановить всю целостность процесса познания человеком мира и его явлений.

Презентация: "История науки алгебры логики"

• признаки предметов, по которым формируется понятие;
• виды понятий;
• интенсиональность и экстенсиональность понятий;
• отношения между понятиями;
• обобщение понятий.

Признаки предметов для определения понятий

При помощи понятий в нашем сознании зафиксированы существенные признаки практически всех предметов и явлений окружающего мира. Причем это не обязательно должен быть реальный мир. Фантазии, сказки, вымысел и мечты – все соткано из ткани понятий.

Самый простой подход к выявлению понятия – слово. Одно слово – одно понятие.

Есть, конечно, и сложные понятия, для формирования которых требуется несколько слов, а то и предложений. Однако основные понятия все-таки эквивалентны слову.

При упоминании слова «соль» человек автоматически вводит в свой текущий мыслительный процесс все основные свойства, присущие соли (соленая, белая, сыпучая). В данном случае соль – понятие, а соленая, белая, сыпучая – признаки.

Признак – характерная черта предмета, по которой определяется сходство этого предмета с другими, или их различие.

В связи с тем, что каждый предмет имеет массу признаков, для удобства эти признаки разделены на:

• основные признаки – выражают сущность предмета (соль – соленая);
• второстепенные признаки – дают второстепенную характеристику (соль – белая).

Презентация: "Основы логики"

Виды понятий

Классифицируются не только признаки, но и сами понятия. При этом практически не существует классификаций понятий по признакам. Считается, что это очень громоздкая и неинформативная классификация.

Основные виды понятий определяются исходя из абстрактных категорий, на базе которых можно обобщать понятия, упрощать их использование и выявлять закономерности их существования.

Основные виды:

• очевидные;
• единичные;
• конкретные;
• безотносительные.

Интенсиональность и экстенсиональность понятий

Чтобы отличать часть от целого, род от вида, а свойство от отношения, понятия характеризуются такими качествами как суть (интенсиональность) и объем (экстенсиональность).

1. Суть понятия представляет собой множество всех существенных признаков его предмета, при этом каждый признак может быть выделен как отдельное понятие. Пример: Государство – суверенная организация, которая имеет собственную территорию и специальный аппарат для управления и принуждения. Понятие «государство» охарактеризовано целым рядом признаков, которые могут выступать самостоятельными понятиями: организация, территория, аппарат управления, аппарат принуждения.

1. Экстенсиональность понятия – совокупность других понятий, для которых это понятие может быть их существенным признаком. Пример: Понятие треугольник является существенным признаком для всего множества треугольников (прямоугольные, равнобедренные).

Отношения между понятиями

Многообразие понятий и взаимосвязей, существующих между ними, обусловило необходимость создания системы отношений. На данный момент самыми употребляемыми являются две следующие системы:

1. По возможности сравнивать понятия между собой по признакам (содержаниям). В данном случае понятия оцениваются на наличие общих признаков, как главных, так и второстепенных. При наличии хотя бы одного одинакового признака понятия считаются сравниваемыми, а при отсутствии – не сравниваемыми.
2. При сравнении объемов (экстенсиональности) сравниваются отношения определенного понятия с совокупностью других понятий. При этом они могут быть совместимые полностью или частично (тождественные, подчиненные), либо исключающие, отрицающие, противоречащие и противоположные друг другу.

Обобщение

Для перехода от признаков, которые определяют индивидуальные характеристики предмета, к понятиям с более широким содержанием, используется такая логическая операция, как обобщение.

Основа обобщения – это абстрагирование от характерных признаков предмета понятия и пошаговое распределение понятий по видам, по родам, классам и т.д.

Логическая операция, обратная обобщению, – ограничение. С использованием этой логической операции предмет понятия исследуется на наличие определенных индивидуальных признаков и по ним отграничивается от остального множества схожих по признакам понятий. Такая операция имеет еще одно название – конкретизация.

Суждение

Суждение – это мысль, которая представляет собой изложенное в повествовательной форме утверждение или отрицание о чем-либо.

Исходя из того, что сама природа суждения несет в себе оценку обстоятельств, по поводу которых это суждение сгенерировано, основной характеристикой этой мысли является ее истинность или ложность.

Истинность суждения состоит в том, что оно достоверно отражает все явления окружающей действительности, на которые направлено.

Для подробного исследования этой формы мышления необходимо вычленить и разобрать ее основные структурные элементы, их взаимосвязи и закономерности.

• состав такой формы мышления;
• виды именно этих форм мышления;
• истинность таких форм мышления.

Состав суждений

Повествование о чем-либо предполагает, что есть предмет повествования, есть характеристика предмета, о которой повествуется, и есть связка, которая связывает субъект и характеристику.

Данное описание повествования в точности отражает состав суждения:

1. Субъект мысли – его предмет – то, о чем повествуется или что отрицается.
2. Предикат – признак или совокупность признаков предмета. Причем речь идет только о тех признаках, которые содержатся в суждении.
3. Логическая связка, которая в зависимости от утверждения, может выражаться словами «есть», «это» и т.д. Пример: Корова – это травоядное животное. Корова – субъект, травоядное животное – предикат, это – связка. В отрицании мысль формируется с участием частицы «не» или наречия «неверно». Неверно, что комар – это рептилия.

Виды суждений

Первичная классификация суждений осуществляется по их составу. Если мысль состоит из одного предмета и логической связки, то это простое суждение.

В том случае, если в состав одного суждения входит несколько простых мыслей, то такое суждение называется сложным.

В свою очередь, и простые, и сложные мысли имеют более детальное разделение на виды.

Презентация: "Логика"

Виды простых суждений

1. Ввиду того, что простое суждение – это только одно утверждение или отрицание, простые мысли называют еще и категоричными. В свою очередь, категоричные утверждения, которые утверждают, называются категоричными утвердительными, а те простые мысли, которые отрицают, – категоричными отрицательными.
2. Также простые суждения делятся на виды в зависимости от того, на какое количество сформированных множеств предметов распространяется сделанное утверждение или отрицание. По этому принципу суждения делятся на единичные, частные и общие.

Эта лошадь не имеет белых пятен – индивидуальное утвердительное категоричное суждение.

Виды сложных суждений

Классификация сложных суждений осуществляется по тем логическим связкам, которые объединяет суждения (сложные и/или простые) в составе одного сложного суждения.

Существует шесть видов логических связок и, соответственно, шесть видов сложных суждений.

1. Отрицание характеризуется наличием между простыми суждениями логической связки «не» или «неверно». Пример: Тот, кто работает, не является бездельником.
2. Соединений или умножение. Это сложное суждение состоит из простых мыслей, которые соединены умножающей логической связкой «и». Пример: кошка ловит мышей и складывает их у порога.
3. Суждение нестрогой дизъюнкции. Сложная мысль, где простые находятся между собой в логической связке «или». Пример: он мог выбрать мясо или приобрести рыбу.
4. Суждение строгой дизъюнкции, в его составе простые мысли соединяются связкой «либо». Пример: Он мог взять либо красный свитер, либо желтые штиблеты.
5. Эквивалентное суждение, определяется уравнением его составных частей при помощи логической связки. Пример: Торт весит два килограмма, так же, как и большой арбуз.

1. Импликационное суждение предполагает наличие мысли-посылки, из которой сделан вывод. Пример: Если я не высплюсь, то завтра у меня будет болеть голова.

Истинность суждений

Несмотря на то, что для каждого вида суждений имеются свои правила оценки их на истинность и ложность, не всегда удается правильно оценить имеющуюся конструкцию, руководствуясь только предоставленными логикой правилами.

Причины, которые затрудняют установление истинности суждения:

• неоднозначность слов, входящих в состав мысли;
• сложная структура мысли, которая не дает возможности вычленить состав и связки;
• отсутствие необходимой информации для оценки.

Но, тем не менее, при построении суждений нужно максимально тщательно проверять все составляющие его логические компоненты на истинность и ложность, поскольку без этого невозможно научиться правильно мыслить.

1. Критерии истинности для отрицания – если хотя бы одно суждение в отрицающей конструкции ложно, то вся конструкция ложна.
2. Критерии истинности соединительного суждения – если хотя бы одно из суждений соединяющей конструкции ложно, то вся конструкция ложна.
3. Критерий истинности нестрогого разделения (неисключающего) – конструкция истинна во всех случаях, но только не тогда, когда оба суждения в ней ложны.
4. Критерий истинности разделительного исключающего суждения – конструкция истинна тогда, когда одно из суждений ложно, а ложна, когда все суждения истинны, либо все суждения ложны.
5. Критерии истинности тождества – конструкция ложна, когда хотя бы одно из суждений в ней ложно. Кроме того, конструкция истинна, когда оба утверждения в ней ложны.
6. Критерий истинности условного суждения – конструкция ложна только тогда, когда выведенное из истинной посылки заключение – ложно. Во всех остальных случаях, такая конструкция истинна.

Умозаключение

Умозаключение – это высшая форма мышления, которая характеризуется получением нового суждения (заключения) из тех суждений, которые даны и известны из предыдущего опыта и знаний (посылки).

Презентация: "Умозаключение"

Преимущества:

• получение новых знаний о предметах и явлениях, которые не могут быть оценены только в рамках наглядно-образного мышления;
• возможность абстрагироваться и мыслить независимо от наличия доступа к получению информации из внешнего мира через органы чувств (эксперименты, опыты, наблюдения);
• достоверность умозаключения. Проверяя мысли, которые входят в состав умозаключений, на истинность и используя законы логики, можно построить логически правильные рассуждения, которые дадут достоверные выводы.

Недостаток умозаключений – в связи с тем, что умозаключение создается в результате деятельности исключительно мыслительного процесса, то выводы, сделанные на основании умозаключения, зачастую лишены конкретики и носят абстрактный характер.

Виды умозаключений

Умозаключения подразделяются в зависимости от того, какие суждения выбраны в качестве посылок и от того, каким логическим путем идет мыслитель в своих рассуждениях.

Если в качестве посылок взяты общеустановленные правила, на основании которых нужно сделать заключение о каком-либо частном случае, следовательно, такое умозаключение было сделано с использованием дедукции (от общего к частному).

Если же, наоборот, в качестве мыслей-посылок были взяты определенные частности, из которых выведено общее правило, значит, использовалась индукция (рассуждение от частного к общему).

В том же случае, если на основании сходства одних признаков в посылках, сделаны выводы о сходстве каких-нибудь других признаков, входящих в состав предмета посылок, тогда такое умозаключение было сделано по аналогии.

Силлогизм

Частным случаем умозаключения является силлогизм. Это умозаключение, которое построено с использованием определенных посылок и ограниченным числом понятий.

Построение силлогизма имеет свои правила подбора посылок.

1. Нельзя вывести правильный вывод из двух неопределенных утверждений (некоторые цветы – лютики, некоторые птицы – вороны)
2. Из отрицательных утверждений невозможно получить вывод.

Для построения правильного силлогизма необходимо не только владеть знаниями о допустимом взаимодействии посылок между собой, но и уметь оценить понятия, которые входят в состав такого умозаключения: субъектный, предикатный и понятие-пересечение. Это так называемое правило понятий в силлогизме.

Пример: У всех млекопитающих есть желудок. У червей нет желудка. Черви – не млекопитающие.

Субъектный термин – тот, который определяет субъект заключения (черви).

Предикатный – определяет предикат заключения (млекопитающие).

Понятие-пересечение – область пересечения (желудок).

Свойства основных понятий раскрываются в аксиомах - предложениях, принимаемых без доказательства.

Например, в школьной геометрии есть аксиомы: «через любые две точки можно провести прямую и только одну» или «прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».

Система аксиом любой математической теории, раскрывая свойства основных понятий, дает их определения. Такие определения называют аксиоматическими.

Доказываемые свойства понятий называют теоремами , следствиями, признаками, формулами, правилами.

Доказать теорему А В - это значит установить логическим путем, что всегда, когда выполняется свойство А , будет выполняться свойство В.

Доказательством в математике называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предложений этой последовательности по правилам логического вывода.

В основе доказательства лежит рассуждение - логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получается предложение, содержащее новое знание.

В качестве примера рассмотрим рассуждение школьника, которому надо установить отношение «меньше» между числами 7 и 8. Учащийся говорит: «7 < 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Выясним, на какие факты опирается вывод, полученный в этом рассуждении.

Таких фактов два: Первый: если число а при счете называют раньше числа b , то a < b . Второй: 7 при счете называют раньше, чем 8.

Первое предложение носит общий характер, так как содержит квантор общности - его называют общей посылкой. Второе предложение касается конкретных чисел 7 и 8 - его называют частной посылкой. Из двух посылок получен новый факт: 7 < 8, его называют заключением.

Между посылками и заключением существует определенная связь, благодаря которой они и составляют рассуждение.

Рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение следования, называют дедуктивным.

В логике вместо термина «рассуждения» чаще используется слово «умозаключение».

Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это , содержащие исходное знание.

Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

Как правило, заключение отделяется от посылок с помощью слов «следовательно», «значит». Умозаключение с посылками р 1, р 2, …, рn и заключением Р будем записывать в виде: или (р 1, р 2, …, рn) Р.

Примеры умозаключений: а) Число а = b. Число b = с . Следовательно, число а = с.

b) Если в дроби числитель меньше знаменателя, то дробь правильная. В дроби числитель меньше знаменателя (5<6) . Следовательно, дробь - правильная.

с) Если идет дождь, то на небе есть тучи. На небе есть тучи, следовательно, идет дождь.

Умозаключения могут быть правильными и неправильными.

Умозаключение называется правильным, если формула, соответствующая его структуре и представляющая собой конъюнкцию посылок, соединенная с заключением знаком импликации тождественно истинна.

Для того чтобы установить, является ли умозаключение правильным, поступают следующим образом:

1) формализуют все посылки и заключение;

2) записывают формулу, представляющую конъюнкцию посылок, соединенную знаком импликации с заключением;

3) составляют таблицу истинности для данной формулы;

4) если формула тождественно-истинна, то умозаключение правильное, если нет - то умозаключение неправильное.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных рассуждений.

Правил много, но наиболее часто используются следующие:

1. - правило заключения;

2. - правило отрицания;

3. - правило силлогизма.

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 15. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5 . Следовательно, число 135 делится на 5 ».

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение «если А(х), то В(х) », где А(х) - это «запись числа х оканчивается цифрой 5 », а В(х) - «число х делится на 5 ». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей посылки при
х = 135 (т.е. А(135) ). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 135 (т.е. В(135) ).

Приведем примерумозаключения, выполненного по правилу отрицания: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5 . Число 177 не делится на 5 . Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5 ».

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5 » (т.е. ). Заключение - это отрицание предложения «Запись числа 177 оканчивается цифрой 5 » (т.е. ).

И наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма : «Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6 , то оно кратно 3 . Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3 ».

В этом умозаключении две посылки: «если А(х), то В(х) » и «если В(х), то С(х) », где А(х) - «число х кратно 12 », В(х) - «число х кратно 6 » и С(х) - «число х кратно 3 ». Заключение представляет собой высказывание «если А(х), то С(х) ».

Проверим, правильны ли следующие умозаключения:

1) Если четырехугольник - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. АВС D - ромб. Следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Если число делится на 4 , то оно делится на 2 . Число 22 делится на 2 . Следовательно, оно делится на 4.

3) Все деревья являются растениями. Сосна - дерево. Значит, сосна - растение.

4) Все учащиеся данного класса ходили в театр. Петя не был в театре. Следовательно, Петя - учащийся не данного класса.

5) Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

Решение: 1) Для решения вопроса о правильности умозаключения выявим его логическую форму. Введем обозначения: С(х) - «четырехугольник х - ромб», В(х) - «в четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда первую посылку можно записать в виде:
С(х) В(х), вторую - С(а), а заключение В(а).

Таким образом, форма данного умозаключения такова: . Оно построено по правилу заключения. Следовательно, данное рассуждение правильное.

2) Введем обозначения: А(х) - «число х делится на 4 », В(х) - «число х делится на 2 ». Тогда первую посылку запишем: А(х) В(х), вторую В(а), а заключение - А(а). Умозаключение примет форму: .

Такой логической формы среди известных нет. Легко заметить, что обе посылки истинны, а заключение ложно.

Значит, что данное рассуждение неправильное.

3) Введем обозначения. Пусть А(х) - «если х дерево», В(х) - «х растение». Тогда посылки примут вид: А(х) В(х), А(а), а заключение В(а). Наше умозаключение построено по форме: - правила заключения.

Значит, наше рассуждение построено верно.

4) Пусть А(х) - «х - учащиеся нашего класса», В(х) - «учащиеся х ходили в театр». Тогда посылки будут следующими: А(х) В(х), , а заключение .

Данное умозаключение построено по правилу отрицания:

- значит оно верное.

5) Выявим логическую форму умозаключения. Пусть А(х) - «числитель дроби х меньше знаменателя». В(х) - «дробь х - правильная». С(х) - «дробь х меньше 1 ». Тогда посылки примут вид: А(х) В(х), В(х) С(х), а заключение А(х) С(х).

Наше умозаключение будет следующей логической формы: - правило силлогизма.

Значит, данное умозаключение верно.

В логике рассматривают различные способы проверки правильности умозаключений, среди которых анализ правильности умозаключений с помощью кругов Эйлера. Его проводят следующим образом: записывают умозаключение на теоретико-множественном языке; изображают посылки на кругах Эйлера, считая их истинными; смотрят, всегда ли при этом истинно заключение. Если да, то говорят, что умозаключение построено правильно. Если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение ложно, то говорят, что умозаключение неправильно.

Таблица 9

Покажем, что умозаключение, выполненное по правилу заключения, является дедуктивным. Сначала запишем это правило на теоретико-множественном языке.

Посылка А(х) В(х) может быть записана в виде ТА ТВ , где ТА и ТВ - множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х).

Частная посылка А(а) означает, что а ТА, а заключение В(а) показывает, что а ТВ.

Все умозаключение, построенное по правилу заключения, запишется на теоретико-множественном языке так: .

Рис. 58.

Примеры.

1. Правильно ли умозаключение «Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число 125 делится на 5. Следовательно, запись числа 125 оканчивается цифрой 5 »?

Решение: Это умозаключение выполнено по схеме , что соответствует . Такой схемы среди известных нам нет. Выясним, является ли она правилом дедуктивного умозаключения?

Воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке

полученное правило можно записать так:

. Изобразим на кругах Эйлера множества ТА и ТВ и обозначим элемент а из множества ТВ.

Оказывается, что он может содержаться в множестве ТА, а может и не принадлежать ему (рис. 59). В логике считают, что такая схема не является правилом дедуктивного умозаключения, так как не гарантирует истинности заключения.

Данное умозаключение не является правильным, так как выполнено по схеме, не гарантирующей истинности рассуждения.

Рис. 59.

б) Все глаголы отвечают на вопрос «что делать?» или «что сделать?». Слово «василек» не отвечает ни на один из этих вопросов. Следовательно, «василек» не является глаголом.

Решение: а) Запишем данное умозаключение на теоретико-множественном языке. Обозначим через А - множество студентов педагогического факультета, через В - множество студентов, являющихся учителями, через С - множество студентов, старше 20 лет.

Тогда умозаключение примет вид: .

Если изобразить данные множества на кругах, то возможно 2 случая:

1) множества А, В, С пересекаются;

2) множество В пересекается с множеством С и А, а множество А пересекается с В , но не пересекается с С.

б) Обозначим через А множество глаголов, а через В множество слов, отвечающих на вопрос «что делать?» или «что сделать?».

Тогда умозаключение можно записать в следующем виде:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 - двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».

Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна общего характера - это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая - частная, она характеризует только число 23 - оно двузначное. Заключение - это предложение, которое стоит после слова «следовательно», - также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.

Умозаключения, которые обычно используются при доказательствах теорем, основаны на понятии логического следования. При этом из определения логического следования вытекает, что при всех значениях высказывательных переменных, при которых истинны исходные высказывания (посылки), истинно и заключение теоремы. Такие умозаключения дедуктивные.

В примере, рассмотренном выше, приведенное умозаключение является дедуктивным.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 6 3 = 36, 52 = 25. Затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел a и b верно равенство ab = ba.

В данном умозаключении посылками являются первые два равенства. В них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера - переместительное свойство умножения натуральных чисел.

В данном умозаключении посылки частного характера показывают, что некоторые натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произведение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаключения называют неполной индукцией.

т.е. для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. Значит, на основании, что некоторые числа обладают данным свойством, можно сделать вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа:

Данный пример - это пример рассуждения по аналогии.

Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Умозаключение - это форма мышления, в которой из двух или нескольких суждений, называемых посылками, вытекает новое суждение, называемое заключением (выводом). Например:

Все живые организмы питаются влагой.

Все растения - это живые организмы.

=> Все растения питаются влагой.

В приведенном примере первые два суждения являются посылками, а третье - выводом. Посылки должны быть истинными суждениями и должны быть связаны между собой. Если хотя бы одна из посылок ложна, то и вывод ложен:

Все птицы - это млекопитающие животные.

Все воробьи - это птицы.

=> Все воробьи - это млекопитающие животные.

Как видим, в приведенном примере ложность первой посылки приводит к ложному выводу, несмотря на то что вторая посылка является истинной. Если посылки между собой не связаны, то вывод из них сделать невозможно. Например, из следующих двух посылок никакого вывода не следует:

Все планеты - это небесные тела.

Все сосны являются деревьями.

Обратим внимание на то, что умозаключения состоят из суждений, а суждения - из понятий, т. е. одна форма мышления входит в другую в качестве составной части.

Все умозаключения делятся на непосредственные и опосредованные.

В непосредственных умозаключениях вывод делается из одной посылки. Например:

Все цветы являются растениями.

=> Некоторые растения являются цветами.

Верно, что все цветы являются растениями.

=> Неверно, что некоторые цветы не являются растениями.

Нетрудно догадаться, что непосредственные умозаключения представляют собой уже известные нам операции преобразования простых суждений и выводы об истинности простых суждений по логическому квадрату. Первый приведенный пример непосредственного умозаключения является преобразованием простого суждения путем обращения, а во втором примере по логическому квадрату из истинности суждения вида А делается вывод о ложности суждения вида О.

В опосредованных умозаключениях вывод делается из нескольких посылок. Например:

Все рыбы - это живые существа.

Все караси - это рыбы.

=> Все караси - это живые существа.

Опосредованные умозаключения делятся на три вида: дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии.

Дедуктивные умозаключения (дедукция) (от лат. deductio - «выведение») - это умозаключения, в которых из общего правила делается вывод для частного случая (из общего правила выводится частный случай). Например:

Все звезды излучают энергию. Солнце - это звезда.

=> Солнце излучает энергию.

Как видим, первая посылка представляет собой общее правило, из которого (при помощи второй посылки) вытекает частный случай в виде вывода: если все звезды излучают энергию, значит, Солнце тоже ее излучает, потому что оно является звездой.

В дедукции рассуждение идет от общего к частному, от большего к меньшему, знание сужается, в силу чего дедуктивные выводы достоверны, т. е. точны, обязательны, необходимы. Посмотрим еще раз на приведенный пример. Мог бы из двух данных посылок вытекать иной вывод, кроме того, который из них вытекает? Не мог. Вытекающий вывод - единственно возможный в этом случае. Изобразим отношения между понятиями, из которых состояло наше умозаключение, кругами Эйлера.

Объемы трех понятий: звезды (3); тела, излучающие энергию (Т) и Солнце (С) схематично расположатся следующим образом (рис. 33).

Если объем понятия звезды включается в объем понятия тела, излучающие энергию , а объем понятия Солнце включается в объем понятия звезды, то объем понятия Солнце автоматически включается в объем понятия тела, излучающие энергию, в силу чего дедуктивный вывод и является достоверным.

Несомненное достоинство дедукции заключается в достоверности ее выводов. Вспомним, известный литературный герой Шерлок Холмс пользовался дедуктивным методом при раскрытии преступлений. Это значит, что он строил свои рассуждения таким образом, чтобы из общего выводить частное. В одном произведении, объясняя доктору Ватсону сущность своего дедуктивного метода, он приводит такой пример. Около убитого полковника Эшби сыщики Скотланд-Ярда обнаружили выкуренную сигару и решили, что полковник выкурил ее перед смертью. Однако Шерлок Холмс неопровержимо доказывает, что полковник нс мог выкурить эту сигару, потому что он носил большие, пышные усы, а сигара выкурена до конца, т. е., если бы ее курил полковник Эшби, то он непременно подпалил бы свои усы. Следовательно, сигару выкурил другой человек.

В этом рассуждении вывод выглядит убедительно именно потому, что он дедуктивный - из общего правила: Любой человек с большими, пышными усами не может выкурить сигару до конца , выводится частный случай: Полковник Эшби не мог выкурить сигару до конца, потому что носил такие усы. Приведем рассмотренное рассуждение к принятой в логике стандартной форме записи умозаключений в виде посылок и вывода:

Любой человек с большими, пышными усами не может

выкурить сигару до конца.

Полковник Эшби носил большие, пышные усы.

=> Полковник Эшби не мог выкурить сигару до конца.

Индуктивные умозаключения (индукция) (от лат. inductio - «наведение») - это умозаключения, в которых из нескольких частных случаев выводится общее правило. Например:

Юпитер движется.

Марс движется.

Венера движется.

Юпитер, Марс, Венера - это планеты.

=> Все планеты движутся.

Первые три посылки представляют собой частные случаи, четвертая посылка подводит их под один класс объектов, объединяет их, а в выводе говорится обо всех объектах этого класса, т. е. формулируется некое общее правило (вытекающее из трех частных случаев).

Легко увидеть, что индуктивные умозаключения строятся по принципу, противоположному построению дедуктивных умозаключений. В индукции рассуждение идет от частного к общему, от меньшего к большему, знание расширяется, в силу чего индуктивные выводы (в отличие от дедуктивных) нс достоверны, а вероятностны. В рассмотренном выше примере индукции признак, обнаруженный у некоторых объектов какой-то группы, перенесен на все объекты этой группы, сделано обобщение, которое почти всегда чревато ошибкой: вполне возможно наличие в группе каких-то исключений, и даже если множество объектов из некоторой группы характеризуется каким-то признаком, то это не означает, что таким признаком характеризуются все объекты данной группы. Вероятностный характер выводов является, конечно же, недостатком индукции. Однако ее несомненное достоинство и выгодное отличие от дедукции, которая представляет собой сужающееся знание, заключается в том, что индукция - это расширяющееся знание, способное приводить к новому, в то время как дедукция - это разбор старого и уже известного.

Умозаключения по аналогии (аналогия) (от греч. analogia - «соответствие») - это умозаключения, в которых на основе сходства предметов (объектов) в одних признаках делается вывод об их сходстве и в других признаках. Например:

Планета Земля расположена в Солнечной системе, на ней есть атмосфера, вода и жизнь.

Планета Марс расположена в Солнечной системе, на ней есть атмосфера и вода.

=> Вероятно, на Марсе есть жизнь.

Как видим, сопоставляются два объекта (планета Земля и планета Марс), которые сходны между собой в некоторых существенных, важных признаках (находиться в Солнечной системе, иметь атмосферу и воду). На основе данного сходства делается вывод о том, что, возможно, эти объекты сходны между собой и в других признаках: если на Земле есть жизнь, а Марс во многом похож на Землю, то не исключено наличие жизни и на Марсе. Выводы аналогии, как и выводы индукции, вероятностны.

В этом уроке мы, наконец, переходим к теме, которая составляет ядро любого рассуждения и любой логической системы - умозаключениям. В четвёртом уроке мы говорили, что рассуждение - это совокупность суждений или высказываний. Очевидно, что такое определение не полно, ведь оно ничего не говорит о том, почему вдруг какие-то разные высказывания оказались рядом. Если дать более точное определение, то рассуждение - это процесс обоснования какого-либо высказывания с помощью его последовательного вывода из других высказываний. Этот вывод чаще всего осуществляется в форме умозаключений.

Умозаключение - это непосредственный переход от одного или нескольких высказываний А 1 , А 2 , …, А n к высказыванию В. А 1 , А 2 , …, А n называют посылками. Посылка может быть одна, их может быть две, три, четыре, в принципе - сколько угодно. В посылках содержится известная нам информация. В - это заключение. В заключении находится уже новая информация, которую мы извлекли из посылок с помощью специальных процедур. Эта новая информация уже содержалась в посылках, но в скрытом виде. Так вот задача умозаключения сделать это скрытое явным. Кроме того, иногда посылки называют аргументами, а заключение - тезисом, а само умозаключение в этом случае называют обоснованием. Разница между умозаключением и обоснованием состоит в том, что в первом случае, мы не знаем, к какому заключению мы придём, а во втором - тезис нам уже известен, мы просто хотим установить его связь с посылками-аргументами.

В качестве иллюстрации умозаключения можно взять рассуждения Эркюля Пуаро из «Убийства в восточном экспрессе» Агаты Кристи:

Но я почувствовал, что он перестроился на ходу. Предположим, он хотел сказать: «А разве ее не сожгли?» Следовательно, Маккуин знал и о записке, и о том, что ее сожгли, или, говоря другими словами, он был убийцей или пособником убийцы.

Над чертой располагаются посылки, под чертой - заключение, а сама черта обозначает отношение логического следования.

Критерии истинности умозаключений

Также как и для суждений, для умозаключений существуют определённые условия их истинности. При определении, истинное умозаключение или ложное, нужно обращать внимание на два аспекта. Первый аспект - это истинность посылок. Если хотя бы одна из посылок ложна, то и сделанное заключение тоже будет ложным. Поскольку заключение - это та информация, которая была скрыта в посылках и которую мы просто извлекли на свет, то из неверных посылок невозможно случайно получить верный вывод. Это можно сравнить с попыткой сделать бифштекс из моркови. Наверное, моркови можно придать цвет и форму бифштекса, но внутри всё равно будет морковь, а не мясо. Никакие кулинарные операции не преобразуют одно в другое.

Второй аспект - это правильность самого умозаключения с точки зрения его логической формы. Дело в том, что истинность посылок - это важное, но недостаточное условие для того, чтобы заключение было правильным. Нередки ситуации, когда посылки истинны, но заключение неверно. В качестве примера неправильного умозаключения при истинности посылок можно привести умозаключение голубки из «Алисы в стране чудес» Кэрролла. Голубка обвиняет Алису, в том, что она не змея. Вот как она приходит к этому выводу:

Змеи едят яйца.
Девочки едят яйца.
Значит, девочки - это змеи.

Хотя посылки правильные, заключение абсурдно. Умозаключение в целом сделано неверно. Чтобы избежать подобных ошибок, логики выявили такие умозаключения, логические формы которых при истинности посылок гарантируют истинность заключения. Их принято называть правильными умозаключениями. Таким образом, чтобы умозаключение было сделано верно, нужно следить за истинностью посылок и за правильностью самой формы умозаключения.

Мы рассмотрим различные формы правильных умозаключений на примере силлогистики. В этом уроке мы разберём самые простые однопосылочные заключения. В следующем уроке - более сложные заключения: силлогизмы, энтимемы, многопосылочные заключения .

Чтобы было легче запомнить, какие именно типы умозаключений возможны между категорическими атрибутивными высказываниями, логики придумали специальный логический квадрат, изображающий отношения между ними. Поэтому некоторые однопосылочные умозаключения также называют умозаключениями по логическому квадрату. Посмотрим на этот квадрат:

Начнём с отношений подчинения . Мы уже сталкивались с ними в четвёртом уроке, когда рассматривали условия истинности для частно-утвердительных и частно-отрицательных высказываний. Мы говорили, что из высказывания «Все S есть P» будет логичным вывести высказывание «Некоторые S есть P», а из высказывания «Ни один S не есть P» - «Некоторые S не есть P». Таким образом, возможны следующие типы умозаключений:

• Все S есть P
• Некоторые S есть P
• Все птицы имеют клюв. Следовательно, некоторые птицы имеют клюв.
• Ни один S не есть P
• Некоторые S не есть P
• Ни один гусь не хочет быть пойман и зажарен. Следовательно, некоторые гуси не хотят быть пойманными и зажаренными.

Кроме того, по правилу контрапозиции из отношений подчинения можно вывести ещё два правильных умозаключения. Правило контрапозиции - это логический закон, который гласит: если из высказывания А следует высказывание В, то из высказывания «неверно, что В» будет следовать высказывание «неверно, что А». Вы можете попробовать проверить этот закон с помощью таблицы истинности. Итак, будут верны и следующие умозаключения по контрапозиции:

• Неверно, что все S есть P
• Неверно, что некоторые автомобили не имеют колёс. Поэтому неверно, что все автомобили не имеют колёс.
• Неверно, что все S не есть P
• Неверно, что некоторые вина не являются спиртными напитками. Таким образом, неверно, что все вина не являются спиртными напитками.

Отношение контрарности (противоположности) означает, что высказывания типа «Все S есть P» и «Ни один S не есть P» не могут быть одновременно истинными, но они могут быть одновременно ложными. Это хорошо видно из таблицы истинности для категоричных атрибутивных высказываний, которую мы построили в прошлом уроке. Отсюда можно вывести так называемый закон контрарного противоречия: Неверно, что все S есть P и в то же время ни один S не есть P.

По закону контрарного противоречия будут истинными следующие виды умозаключений:

• Все S есть P
• Все яблоки - это фрукты. Следовательно, неверно, что ни одно яблоко не является фруктом.
• Ни один S не есть P
• Неверно, что все S есть P
• Ни один кит не умеет летать. Поэтому неверно, что все киты умеют летать.

Отношения субконтрарности (подпротивоположности) означают, что высказывания типа «Некоторые S есть P» и «Некоторые S не есть P» не могут быть одновременно ложными, хотя могут быть одновременно истинными. На этом основании может быть сформулирован закон субконтрарного исключённого третьего: Некоторые S не есть P или Некоторые S есть P.

• Согласно этому закону правильными будут следующие умозаключения:
• Неверно, что некоторые S есть P
• Некоторые S не есть P
• Неверно, что некоторые продукты полезны для здоровья. Поэтому некоторые продукты не полезны для здоровья.
• Неверно, что некоторые S не есть P
• Некоторые S есть P
• Неверно, что некоторые ученики из нашего класса не являются двоечниками. Таким образом, некоторые ученики из нашего класса являются двоечниками.

Отношения противоречия (контрадикторности) говорят о том, что высказывания, находящиеся в них, не могут быть одновременно истинными или ложными. На основании этих отношений можно сформулировать два закона противоречия и два закона исключённого третьего. Первый закон противоречия: Неверно, что все S есть P и некоторые S не есть P. Второй закон противоречия: Неверно, что ни один S не есть P и некоторые S есть P. Первый закон исключённого третьего: Все S есть P или некоторые S не есть P. Второй закон исключённого третьего: Ни один S не есть P или некоторые S есть P.

На этих законах строятся умозаключения следующих видов:

• Все S есть P
• Неверно, что некоторые S не есть P
• Все дети нуждаются в заботе. Следовательно, неверно, что некоторые дети не нуждаются в заботе.
• Некоторые S не есть P
• Неверно, что все S есть P
• Некоторые книги не являются скучными. Поэтому, неверно, что все книги являются скучными.
• Неверно, что все S есть P
• Некоторые S не есть P
• Неверно, что все сотрудники нашей фирмы усердно работают. Таким образом, некоторые сотрудники нашей фирмы не работают усердно.
• Неверно, что некоторые S не есть P
• Все S есть P
• Неверно, что некоторые зебры не имеют полосок на коже. Следовательно, все зебры имеют полоски на коже.
• Ни один S не есть P
• Неверно, что некоторые S есть P
• Ни одна картина в этом зале не относится к XX веку. Поэтому неверно, что некоторые картины в этом зале относятся к XX веку.
• Некоторые S есть P
• Неверно, что ни один S не есть P
• Некоторые студенты занимаются спортом. Таким образом, неверно, что ни один студент не занимается спортом.
• Неверно, что ни один S не есть P
• Некоторые S есть P
• Неверно, что ни один учёный не интересуется искусством. Следовательно, некоторые учёные интересуются искусством.
• Неверно, что некоторые S есть P
• Ни один S не есть P
• Неверно, что некоторые коты курят сигары. Таким образом, ни один кот не курит сигары.

Как вы, скорее всего, заметили во всех этих умозаключениях, высказывания над чертой и под чертой несут одну и ту же информацию, просто поданную в разной форме. Важная деталь заключается в том, что смысл одних из этих высказываний воспринимается легко и интуитивно, в то время как смысл других тёмен, и над ними порой приходится поломать голову. Например, смысл утвердительных высказываний воспринимается легче, чем смысл отрицательных высказываний, смысл высказываний с одним отрицанием более понятен, чем смысл высказываний с двумя отрицаниями. Таким образом, основное назначение умозаключений по логическому квадрату состоит в том, чтобы привести сложные для восприятия, непонятные высказывания к наиболее простой и ясной форме.

Ещё одним видом однопосылочных умозаключений является обращение. Это такой тип умозаключений, при которых субъект посылки совпадает с предикатом заключения, а субъект заключения совпадает с предикатом посылки. Грубо говоря, в заключении S и P просто меняются местами.

Прежде чем перейти к умозаключениям через обращение, построим таблицу истинности для высказываний, в которых P встанет на место субъекта, а S - на место предиката.

Сравните её с той таблицей, которую мы строили в прошлом уроке. Обращение, как и другие умозаключения, может быть правильным, только когда посылка и заключение одновременно истинны. При сравнении двух таблиц, вы увидите, что таких комбинаций не так уж и много.

Итак, существует два вида обращения: чистое и с ограничением. Чистое обращение происходит тогда, когда количественная характеристика не изменяется, то есть если в посылке было слово «все», то и в заключении тоже будет слова «все»/«ни один», если в посылке слово «некоторые», то и в заключении «некоторые. Соответственно, при обращении с ограничением количественная характеристика меняется: были «все», а стали «некоторые». Для высказываний типа «Ни один S не есть P» и «Некоторые S есть P» правильным будет следующее чистое обращение:

• Ни один S не есть P
• Ни один P не есть S
• Ни один человек не может выжить без воздуха. Следовательно, ни одно живое существо, способное выжить без воздуха, не является человеком.
• Некоторые S есть P
• Некоторые P есть S
• Некоторые змеи ядовиты. Поэтому, некоторые ядовитые существа - это змеи.
• Для высказываний типа «Все S есть P» и «Ни один S не есть P» верно обращение с ограничением:
• Все S есть P
• Некоторые P есть S
• Все пингвины - это птицы. Таким образом, некоторые птицы - это пингвины.
• Ни один S не есть P
• Некоторый P не есть S
• Ни один крокодил не ест зефир. Следовательно, некоторые существа, едящие зефир, не являются крокодилами.
• Высказывания типа «Некоторые S не есть P» вообще не обращаются.

Хотя обращения, как и умозаключения по логическому квадрату, это однопосылочные умозаключения, и мы точно также извлекаем всю новую информацию из имеющейся посылки, посылку и заключение в них уже нельзя назвать просто разными формулировками одной и той же информации. Полученная информация относится уже к другому субъекту, а потому она уже не кажется такой тривиальной.

Итак, в этом уроке мы начали рассматривать правильные виды умозаключений. Мы поговорили о самых простейших однопосылочных умозаключениях: умозаключениях по логическому квадрату и умозаключениях через обращение. Хотя эти умозаключения довольно просты и даже где-то тривиальны, люди повсеместно совершают в них ошибки. Понятно, что сложно удержать в памяти все виды правильных умозаключений, поэтому, когда вы будете выполнять упражнения или столкнётесь с необходимостью проверить или сделать однопосылочное умозаключение в реальной жизни, не бойтесь прибегать к помощи модельных схем и таблиц истинности. Они помогут вам проверить, всегда ли при истинности посылок заключение тоже истинное, а это главное для правильного умозаключения.

Упражнение «Подберите ключ»

В этой игре вам нужно создать ключ правильной формы. Для этого установите засечки нужной длины (от 1 до 3, 0 – быть не может), а затем нажмите кнопку «Попробовать». Вам будут даны 2 суждения, сколько засечек выбранной длины присутствуют в ключе (для простоты значение «наличие»), и сколько из выбранных находятся на своём месте (для простоты значение «на месте»). Скорректируйте своё решение и пробуйте, пока не подберёте ключ.

Упражнения

Сделайте все возможные умозаключения из следующих высказываний по логическому квадрату:

• Все медведи на зиму залегают в спячку.
• Неверно, что все люди завистливы.
• Ни один гном не достигает роста в два метра.
• Неверно, что ни один человек не был на Северном полюсе.
• Некоторые люди никогда не видели снега.
• Некоторые автобусы ходят по расписанию.
• Неверно, что некоторые слоны летали на луну.
• Неверно, что некоторые птицы не имеют крыльев.

Сделайте обращения с теми, высказываниями, с которыми это возможно:

• Никто ещё не построил машину времени.
• Некоторые официанты очень назойливы.
• Все профессионалы опытны в своём деле.
• Некоторые книги не имеют твёрдой обложки.

Проверьте, правильно ли сделаны следующие умозаключения:

• Некоторые кролики не носят белые перчатки. Следовательно, некоторые кролики носят белые перчатки.
• Неверно, что никто не был на Луне. Таким образом, некоторые люди были на Луне.
• Все люди смертны. Поэтому все смертные - это люди.
• Некоторые птицы не умеют летать. Следовательно, некоторые существа, не умеющие летать, это птицы.
• Ни один ягнёнок не имеет пристрастия к виски. Следовательно, ни одно существо, имеющее пристрастие к виски, не является ягнёнком.
• Некоторые морские животные млекопитающие. Таким образом, неверно, что ни одно морское животное не является млекопитающим.

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.