Частные случаи применения интеграла бернулли. Бернулли уравнение (интеграл Бернулли). Замкнутая система уравнений гидроаэромеханики

Сумма первых двух членов в левой части уравнения (1) равна полной потенциальной, а третий член - кинетической энергиям, отнесённым к ед. массы жидкости; следовательно, всё уравнение выражает для движущейся жидкости закон сохранения механической энергии и устанавливает важную зависимость между v, p и h. Например, если при неизменной h скорость течения вдоль линии тока возрастает, то давление падает, и наоборот. Этот закон используют при измерении скорости с помощью трубок измерительных и при других аэродинамических измерениях.

Уравнение Бернулли представляют также в виде
h + p/γ + v 2 /2g = C или
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(где γ =ρg - удельный вес жидкости). В 1-м равенстве все слагаемые имеют размерность длины и называются соответствующей геометрической (нивелирной), пьезометрической и скоростной высотами, а во 2-м - размерности давления и соответственно именуются весовым, статическим и динамическим давлениями.

В общем случае, когда жидкость является сжимаемой (газ), но баротропной, т. е. р в ней зависит только от ρ, и когда её движение происходит в любом, но потенциальном поле объёмных (массовых) сил (см. Силовое поле), уравнение Бернулли получается как следствие Эйлера уравнений гидромеханики и имеет вид:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
где П - потенциальная энергия (потенциал) поля объёмных сил, отнесённая к ед. массы жидкости. При течении газов значение П мало изменяется вдоль линии тока, и его можно включить в константу, представив (3) в виде:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

В технических приложениях для течения, осреднённого по поперечному сечению канала, применяют т. н. обобщённое уравнение Бернулли: сохраняя форму уравнений (1) и (3), в левую часть включают работу сил трения и преодоления гидравлических сопротивлений, а также механическую работу жидкости или газа (работу компрессора или турбин) с соответствующим знаком. Обобщённое уравнение Бернулли широко применяется в гидравлике при расчёте течения жидкостей и газов в трубопроводах и в машиностроении при расчёте компрессоров, турбин, насосов и других гидравлических и газовых машин.

уравнений гидродинамики - интеграл, определяющий давление рв каждой точке установившегося потока идеальной однородной жидкости или баротропного газа через скорость потока в соответствующей точке и через силовую функцию объемных сил: Постоянная Симеет для каждой линии тока свое значение, меняющееся при переходе от одной линии тока к другой. Если движение потенциальное, то постоянная Сдля всего потока одна и та же. Для неустановившегося движения Б. и. (наз. иногда интегралом Коши - Лагранжа) имеет место при наличии потенциала скоростей: причем и есть произвольная функция времени. Для несжимаемой жидкости левая часть уравнений (1), (2) приводится к виду; для баротропного газа - к виду: Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.: Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Смотреть значение Бернулли Интеграл в других словарях

Интеграл — м. математ. лат. конечная, измеримая величина, в отношении к бесконечно малой части ее, к дифференциалу. ьное вычисление, искусство отыскивать интеграл по дифференциалу.........
Толковый словарь Даля

Интеграл — интеграла, м. (от латин. integer - целый) (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее - к диференциалу.
Толковый словарь Ушакова

Интеграл М. — 1. Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.
Толковый словарь Ефремовой

Интеграл — [тэ], -а; м. [от лат. integer - целый] Матем. Величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию.
◁ Интегра́льный, -ая, -ое. И-ое исчисление (раздел математики,........
Толковый словарь Кузнецова

Бернулли, Даниил — (Bernoulli, Daniel) (1700-1782) Швейцарский математик и естествоиспытатель. Принадлежал к знаменитой семье ученых, родоначальник которой Якоб Бернулли был выходцем из Голландии.........
Экономический словарь

Бернулли Принцип — (D. Bernoulli, 1700-1782, швейц. ученый) правило, согласно котором у сила сокращения мышцы при прочих равных условиях пропорциональна длине ее мышечных волокон, т. е. степени ее........
Большой медицинский словарь

Бернулли — (Bernoulli) Даниэль (1700-82), швейцарский математик и физик, член знаменитой семьи математиков. В своих трудах по гидродинамике показал, что давление жидкости уменьшается по........

Закон Бернулли — , для стабильно текущего потока (газа или жидкости) сумма давления, кинетической энергии на единицу объема и потенциальной энергии на единицу объема является постоянной........
Научно-технический энциклопедический словарь

Интеграл — (обозначение т). Математический символ, используемый в ИСЧИСЛЕНИИ, представляющий операцию суммирования. функции f(x), записанный как т f(x)dx, может представлять площадь........
Научно-технический энциклопедический словарь

Бернулли — (Bernoulli) Иоганн (1667-1748) - иностранный почетный членПетербургской АН (1725), брат Якоба. Труды по исчислениюбесконечно малых и вариационному исчислению.

Бернулли Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей;простейший случай закона больших чисел, относится к распределениюотклонений частоты появления некоторого случайного........
Большой энциклопедический словарь

Бернулли Уравнение — связывает скорость и давление в потоке идеальнойнесжимаемой жидкости при установившемся течении. выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Широко применяетсяв........
Большой энциклопедический словарь

Интеграл — (от лат. integer - целый) - см. ьное исчисление.
Большой энциклопедический словарь

Кратный Интеграл — интеграл от функции нескольких переменных. Определяетсяпри помощи интегральных сумм, аналогично определенному интегралу отфункции одного переменного (см. Интегральное........
Большой энциклопедический словарь

Криволинейный Интеграл — интеграл от функции, заданной вдоль какой-либокривой на плоскости или в пространстве. Его можно свести к определенномуинтегралу, а при некоторых дополнительных условиях........
Большой энциклопедический словарь

Неопределенный Интеграл
Большой энциклопедический словарь

Несобственный Интеграл — обобщение понятия интеграла на случайнеограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежуткеинтегрирования.
Большой энциклопедический словарь

Определенный Интеграл — см. Интегральное исчисление.
Большой энциклопедический словарь

Поверхностный Интеграл — интеграл от функции, заданной на какой-либоповерхности. При некоторых условиях его можно свести к тройному интегралу(Остроградского формула).
Большой энциклопедический словарь

Бернулли, Даниил — - член Академии наук, математик и врач, род. 29 января 1700 г. в Гренингене, в Швейцарии, ум. 17 марта 1782 г. в Базеле. Семья Бернулли происходит из Антверпена. Спасаясь от религиозного........

Бернулли, Иван — - брат Даниила Бернулли, род. в Базеле 18 мая 1710 г., ум. там же 18 июля 1790 г. В молодости он изучал правоведение в базельском университете. 14-ти лет от роду получил степень........
Большая биографическая энциклопедия

Бернулли, Николай — - юрист и математик, сын Иоганна Бернулли, род. 27 января 1695 г. в Гренингене или Базеле, ум. в С.-Петербурге 29 июля 1726 г. Он с детских лет отличался живостью ума и выдающимися........
Большая биографическая энциклопедия

Бернулли, Яков — - племянник Даниила Бернулли, профессор математики в Петербурге, род. 27 октября 1759 г. в Базеле, ум. 15 июля 1789 г. в С.-Петербурге. Окончив курс в базельском университете,........
Большая биографическая энциклопедия

Интеграл, Михаил — издал сборн.
Большая биографическая энциклопедия

Бернулли — (Bernoulli) - семья швейц. учёных в области муз. акустики. Иоганн Б. (17 VII 1667, Базель - 1 I 1748, там же) - автор исследования "Изобретения в области колебания натянутых хорд" ("Erfindungen........
Музыкальная энциклопедия

Бернулли, Распределение — См. биноминальное распределение.
Психологическая энциклопедия

Бернулли, Тест — Любой тест или ситуация с двумя взаимно исключающими и исчерпывающими возможными результатами; например, орел/решка при подбрасывании монеты. В серии тестов Бернулли........
Психологическая энциклопедия

Берну́лли При́нцип — (D. Bernoulli, 1700-1782, швейц. ученый)
правило, согласно которому сила сокращения мышцы при прочих равных условиях пропорциональна длине ее мышечных волокон, т. е. степени........
Медицинская энциклопедия

Потребность-интеграл — Термин Г. Мюррея, используемый для того, чтобы охарактеризовать динамическую интеграцию моделей поведения, включая пути, движения, цели и целевые объекты человека.........
Психологическая энциклопедия

Распределение Бернулли — См. распределение, биноминальное.
Психологическая энциклопедия

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Плотность жидкости,

Скорость потока,

Высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

Давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

Ускорение свободного падения.

Константа в правой части обычно называется напором , или полным давлением, а также интегралом Бернулли . Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.

Это соотношение, выведенное Даниилом Бернулли в 1738 г., было названо в его честь уравнением Бернулли . (Не путать с дифференциальным уравнением Бернулли.)

Для горизонтальной трубы h = 0 и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ρ: .

Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из гидростатического (ρgh ), атмосферного (p) и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела почти всегда в точности равна нулю (кроме случаев отрыва струй при некоторых редких условиях).

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

,

p 0 - атмосферное давление,

h - высота столба жидкости в сосуде,

v - скорость истечения жидкости.

Отсюда: . Это - формула Торричелли (англ.). Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h .

уравнений гидродинамики - интеграл, определяющий давление рв каждой точке установившегося потока идеальной однородной жидкости или баротропного газа через скорость потока в соответствующей точке и через силовую функцию объемных сил:

Постоянная Симеет для каждой линии тока свое значение, меняющееся при переходе от одной линии тока к другой. Если движение потенциальное, то постоянная Сдля всего потока одна и та же.

Для неустановившегося движения Б. и. (наз. иногда интегралом Коши - Лагранжа) имеет место при наличии потенциала скоростей:

и есть произвольная функция времени.

Для несжимаемой жидкости левая часть уравнений (1), (2) приводится к виду ; для баротропного газа - к виду:

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит. : Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

• - Даниил, швейц. учёный, чл. Петерб. АН. Проф. ун-та в Базеле. В 1725-33 работал в России. Одним из первых использовал методы теории вероятностей при рассмотрении ряда вопросов количеств, изучения нас. В работе "...
• - Кристоф, швейц. учёный, проф. технич. наук ун-та в Базеле...

  Демографический энциклопедический словарь

• - автоморфизм пространства с мерой:, описывающий Бернулли испытания и их обобщение - последовательность независимых испытаний, имеющих одни и те же исходы и одно и то же распределение вероятностей...

  Математическая энциклопедия

• - случайное блуждание, порождаемое Бернулли испытаниями. На примере Б. б. можно пояснить нек-рые основные черты более общих случайных блужданий...

  Математическая энциклопедия

• - независимые испытания с двумя исходами каждое и такие, что вероятности исходов не изменяются от испытания к испытанию. Б. и. служат одной из основных схем, рассматриваемых в теории вероятностей...

  Математическая энциклопедия

• - плоская алгебраич...

  Математическая энциклопедия

• - метод нахождения наибольшего по абсолютной величине действительного корня алгебраич. уравнения вида Предложен Д. Бернулли; состоит- в следующем. Пусть - произвольно выбранные числа...

  Математическая энциклопедия

• - многочлены вида где Bs- Бернулли числа...

  Математическая энциклопедия

• - то же, что биномиальное распределение...

  Математическая энциклопедия

• - правило, согласно котором у сила сокращения мышцы при прочих равных условиях пропорциональна длине ее мышечных волокон, т. е. степени ее предварительного растяжения...

  Большой медицинский словарь

• - Даниэль, швейцарский математик и физик, член знаменитой семьи математиков. В своих трудах по гидродинамике показал, что давление жидкости уменьшается по мере возрастания скорости ее течения...

  Научно-технический энциклопедический словарь

• - династия швейцарских ученых родом из Антверпена, бежавших из города после захвата его испанцами и поселившихся в 1622 в Базеле...

  Энциклопедия Кольера

• - семейство, давшее ряд замечательных людей, преимущественно в области математических наук. Родоначальник его Яков Б. эмигрировал из Антверпена во время управления Фландрией герцога Альбы, во Франкфурт...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - семья швейцарских учёных, родоначальник которой Якоб Б. был выходцем из Голландии. Якоб Б. , профессор математики Базельского университета...

  Большая Советская энциклопедия

• - семья швейцарских ученых, давшая видных математиков...

  Большой энциклопедический словарь

• - Берн"улли, нескл., муж.: сх"ема Берн"улли, теор"ема Берн"улли, уравн"ение Берн"улли, ч"исла Берн"...

  Русский орфографический словарь

"БЕРНУЛЛИ ИНТЕГРАЛ" в книгах

Вызов Бернулли

Вызов Бернулли Компетентные инвесторы гордятся своей способностью определять правильную цену финансовых заявок. Эта способность является сутью инвестирования: рынок – лишь средство для обмена денег на будущие заявки и наоборот.Хорошо, вот вам ситуация для оценки:

11. ИНТЕГРАЛ В ЛОГИКЕ