На каком из участков происходит чистый изгиб. Решение типовых задач по сопромату. Чистый и поперечный изгиб балки

Силы, действующие перпендикулярно к оси бруса и располо­женные в плос-кости, проходящей через эту ось, вызывают дефор­мацию, называемую попереч-ным изгибом . Если плоскость действия упомянутых сил – главная плоскость, то имеет место прямой (плоский) поперечный изгиб. В противном случае изгиб называет­ся косым поперечным. Брус, подверженный преимущественно из­гибу, называется балкой 1 .

По существу поперечный изгиб есть сочетание чистого изги­ба и сдвига. В связи с искривлением поперечных сечений из-за неравномерности распределе-ния сдвигов по высоте возникает вопрос о возможности применения формулы нормального напряжения σ х , выведенной для чистого изгиба на основании гипотезы плоских сечений.

1 Однопролетная балка, имеющая по концам соответственно одну цилиндрическую неподвижную опору и одну цилиндрическую подвижную в направлении оси балки, называется простой . Балка с одним защемленным и другим свободным концом называется консолью . Простая балка, имеющая одну или две части, свешивающиеся за опору, называется консольной .

Если, кроме того, сечения взяты далеко от мест приложения нагрузки (на расстоянии, не меньшем половины высоты сечения бруса), то можно, как и в случае чистого изгиба, считать, что волокна не оказывают давления друг на друга. Значит, каждое волокно испытывает одноосное растяжение или сжатие.

При действии распределенной нагрузки поперечные силы в двух смежных сечениях будут отличаться на величину, рав­ную qdx . Поэтому искривления сечений будут также несколько отличаться. Кроме того, волокна будут оказывать давление друг на друга. Тщательное исследование вопроса показывает, что если длина бруса l достаточно велика по сравнению с его высотой h (l / h > 5), то и при распределенной нагрузке указанные факторы не оказывают существенного влияния на нормальные напряжения в поперечном сечении и потому в практических расчетах могут не учитываться.

а б в

Рис. 10.5 Рис. 10.6

В сечениях под сосредоточенными грузами и вблизи них распределение σ х отклоняется от линейного закона. Это отклонение, носящее местный характер и не сопровождающееся увеличением наибольших напряжений (в крайних волокнах), на практике обычно не принимают во внимание.

Таким образом, при поперечном изгибе (в плоскости ху ) нор­мальные напряжения вычисляются по формуле

σ х = – [М z (x )/I z ]y .

Если проведем два смежных сечения на участке бруса, свободном от нагрузки, то поперечная сила в обоих сечениях будет одинакова, а значит, одинаково и искривление сечений. При этом какой-либо отрезок волокна ab (рис.10.5) переместится в новое положение a"b" , не претерпев дополнительного удлинения, и следовательно, не меняя величину нормального напряжения.

Определим касательные напряжения в поперечном сечении через парные им напряжения, действующие в продольном сечении бруса.

Выделим из бруса элемент длиной dx (рис. 10.7 а). Проведём горизонта-льное сечение на расстоянии у от нейтральной оси z , разделившее элемент на две части (рис. 10.7) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основа-

ние шириной b . В соответствии с законом парности касательных напряжений, напряжения действующие в продольном сечении равны напряжениям, действующим в поперечном сечении. С учётом этого в предположении о том, что касательные напряжения в площадке b распределены равномерно ис-пользуем условие ΣХ = 0, получим:

N * - (N * +dN *)+

где: N * - равнодействующая нормальных сил σв левом поперечном сече-нии элемента dx в пределах “отсечённой” площадки А * (рис. 10.7 г):

где: S=- статический момент “отсечённой” части поперечного сече-ния (заштрихованная площадь на рис. 10.7 в). Следовательно, можно записать:

Тогда можно записать:

Эта формула была получена в XIX веке русским ученым и инженером Д.И. Журавским и носит его имя. И хотя эта формула приближенная, так как усредняет напряжение по ширине сечения, но полученные результаты расчета по ней, неплохо согласуются с экспериментальными данными.

Для того, чтобы определить касательные напряжения в произвольной точке сечения отстоящей на расстоянии y от оси z следует:

Определить из эпюры величину поперечной силы Q, действующей в сечении;

Вычислить момент инерции I z всего сечения;

Провести через эту точку плоскость параллельную плоскости xz и определить ширину сечения b ;

Вычислить статический момент отсеченной площади Sотносительно главной центральной оси z и подставить найденные величины в формулу Жура-вского.

Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоуголь-ном поперечном сечении (рис. 10.6, в). Статический момент относительно оси z части сечения выше линии 1-1, на которой определяется напряжения запишем в виде:

Он изменяется по закону квадратной параболы. Ширина сечения в для прямоугольного бруса постоянна, то параболическим будет и закон изменения касательных напряжений в сечении (рис.10.6, в). При y =и у = − каса-тельные напряжения равны нулю, а на нейтральной оси z они достигают наибольшего значения.

Для балки круглого поперечного сечения на нейтральной оси имеем.

Изгиб

Основные понятия об изгибе

Деформация изгиба характеризуется потерей прямолинейности или первоначальной формы линией балки (ее осью) при приложении внешней нагрузки. При этом, в отличие от деформации сдвига, линия балки изменяет свою форму плавно.
Легко убедиться, что на сопротивляемость изгибу влияет не только площадь поперечного сечения балки (бруса, стержня и т. д.), но и геометрическая форма этого сечения.

Поскольку изгиб тела (балки, бруса и т. п.) осуществляется относительно какой-либо оси, на сопротивляемость изгибу влияет величина осевого момента инерции сечения тела относительно этой оси.
Для сравнения - при деформации кручения сечение тела подвергается закручиванию относительно полюса (точки), поэтому на сопротивление кручению оказывает влияние полярный момент инерции этого сечения.

На изгиб могут работать многие элементы конструкций – оси, валы, балки, зубья зубчатых колес, рычаги, тяги и т. д.

В сопротивлении материалов рассматривают несколько типов изгибов:
- в зависимости от характера внешней нагрузки, приложенной к брусу, различают чистый изгиб и поперечный изгиб ;
- в зависимости от расположения плоскости действия изгибающей нагрузки относительно оси бруса - прямой изгиб и косой изгиб .

Чистый и поперечный изгиб балки

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент (рис. 2 ).
Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил. Тогда в каждом сечении бруса будут действовать только изгибающие моменты.

Если же изгиб имеет место в результате приложения к брусу поперечной силы (рис. 3 ), то такой изгиб называется поперечным . В этом случае в каждом сечении бруса действует и поперечная сила, и изгибающий момент (кроме сечения, к которому приложена внешняя нагрузка).

Если брус имеет хоть одну ось симметрии, и плоскость действия нагрузок совпадает с ней, то имеет место прямой изгиб , если же это условие не выполняется, то имеет место косой изгиб .

При изучении деформации изгиба будем мысленно представлять себе, что балка (брус) состоит из бесчисленного количества продольных, параллельных оси волокон.
Чтобы наглядно представить деформацию прямого изгиба, проведем опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка продольных и поперечных линий.
Подвергнув такой брус прямому изгибу, можно заметить, что (рис. 1 ):

Поперечные линии останутся при деформации прямыми, но повернутся под углом друг другу;
- сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне;
- продольные прямые линии искривятся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что:

При чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений;
- волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Полагая справедливой гипотезу о не надавливании волокон, можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью . Очевидно, что на нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

Изгибающий момент и поперечная сила

Как известно из теоретической механики, опорные реакции балок определяют, составляя и решая уравнения равновесия статики для всей балки. При решении задач сопротивления материалов, и определении внутренних силовых факторов в брусьях, мы учитывали реакции связей наравне с внешними нагрузками, действующими на брусья.
Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией – осью, к которой приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей).

Рассмотрим два случая:

1. К балке приложены две равные и противоположные по знаку пары сил.
Рассматривая равновесие части балки, расположенной слева или справа от сечения 1-1 (рис. 2 ), видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М и , равный внешнему моменту. Таким образом, это случай чистого изгиба.

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

2. К балке приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей), перпендикулярные оси (рис. 3 ). Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа, видим, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент М и и поперечная сила Q .
Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным .

У балки, находящейся в равновесии вод действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих на балку справа или слева от сечения .

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. е. системы параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; следовательно сумма внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна алгебраической сумме сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения .

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно: Если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным (рис 4,a ).

Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными (рис. 4,b ). Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемлённым, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Еще раз отметим, что для определения реакций связей пользуются правилами знаков статики, а для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы – правилами знаков сопротивления материалов.
Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют "правилом дождя" , имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задерживается дождевая вода (знак положительный), и наоборот – если под действием нагрузок балка выгибается дугой вверх, вода на ней не задерживается (знак изгибающих моментов отрицательный).

Материалы раздела "Изгиб":

Общие понятия.

Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1) . Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.

Стержни, работающие на изгиб, называют балками .

Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.

Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.

Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.

При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.

Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):

; (6.1)

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а) , то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б) :

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

Рис. .

Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называется нейтральной линией (н. л.) сечения .

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).

Рис. .

Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной. До деформации сечения, ограничивающие элемент, были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется. Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой. Определим линейную деформацию произвольного волокна, отстоящего на расстоянии от нейтрального слоя.

Длина этого волокна после деформации (длина дуги) равна. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину, получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

Его относительная деформация

Очевидно, что, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки получим

(6.2)

Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором. С учетом (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.

Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента в поперечном сечении (6.1)

Вспомним, что интеграл представляет собой момент инерции сечения относительно оси

Или

(6.4)

Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя) с действующим в сечении моментом. Произведение носит название жесткости сечения при изгибе, Н· м 2 .

Подставим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.

Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы и изгибающего момента

Поскольку,

то

(6.6)

(6.7)

Равенство (6.6) указывает, что ось – нейтральная ось сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Равенство (6.7) показывает что и - главные центральные оси сечения.

Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии

Отношение представляет собой осевой момент сопротивления сечения относительно его центральной оси, значит

Значение для простейших поперечных сечений следующее:

Для прямоугольного поперечного сечения

, (6.8)

где - сторона сечения перпендикулярная оси;

Сторона сечения параллельная оси;

Для круглого поперечного сечения

, (6.9)

где - диаметр круглого поперечного сечения.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно записать в виде

(6.10)

Все полученные формулы получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу. Однако практика расчетов показывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечении кроме изгибающего момента действует еще продольная сила и поперечная сила, можно пользоваться формулами, приведенными для чистого изгиба. Погрешность при этом получается незначительной.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов.

Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора и.

Перед определением и определяют реакции опор балки (рис. 6.3, а), составляя уравнения равновесия статики.

Для определения и применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии от левой опоры. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части (рис. 6.3, б). Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями и.

Установим следующие правила знаков для и:

• Поперечная сила в сечении положительна, если ее векторы стремятся вращать рассматриваемое сечение по часовой стрелке ;
• Изгибающий момент в сечении положителен, если он вызывает сжатие верхних волокон.

Рис. .

Для определения данных усилий используем два уравнения равновесия:

1. ; ; .

2. ;

Таким образом,

а) поперечная сила в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на поперечную ось сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

б) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

При практическом вычислении руководствуются обычно следующим:

1. Если внешняя нагрузка стремится повернуть балку относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, (рис. 6.4, б) то в выражении для она дает положительное слагаемое.
2. Если внешняя нагрузка создает относительно рассматриваемого сечения момент, вызывающий сжатие верхних волокон балки (рис. 6.4, а), то в выражении для в этом сечении она дает положительное слагаемое.

Рис. .

Построение эпюр и в балках.

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 6.5, а) . На балку действует в точке сосредоточенный момент, в точке - сосредоточенная сила и на участке - равномерно распределенная нагрузка интенсивностью.

Определим опорные реакции и (рис. 6.5, б) . Равнодействующая распределенной нагрузки равна, а линия действия ее проходит через центр участка. Составим уравнения моментов относительно точек и.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки А (рис. 6.5, в) .

(рис. 6.5, г). Расстояние может изменяться в пределах ().

Значение поперечной силы не зависит от координаты сечения, следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы одинаковы и эпюра имеет вид прямоугольника. Изгибающий момент

Изгибающий момент изменяется по линейному закону. Определим ординаты эпюры для границ участка.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки (рис. 6.5, д). Расстояние может изменяться в пределах ().

Поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим для границ участка.

Изгибающий момент

Эпюра изгибающих моментов на этом участке будет параболической.

Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента, приравниваем к нулю производную от изгибающего момента по абсциссе сечения:

Отсюда

Для сечения с координатой значение изгибающего момента будет составлять

В результате получаем эпюры поперечных сил (рис. 6.5, е) и изгибающих моментов (рис. 6.5, ж).

Дифференциальные зависимости при изгибе.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Эти зависимости позволяют установить некоторые особенности эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:

Н а участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры ограничены прямыми, параллельными нулевой линии эпюры, а эпюры в общем случае – наклонными прямыми .

Н а участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра ограничена наклонными прямыми, а эпюра - квадратичными параболами с выпуклостью, обращенной в сторону, противоположную направлению действия нагрузки .

В сечениях, где, касательная к эпюре параллельна нулевой линии эпюры .

Н а участках, где, момент возрастает; на участках, где, момент убывает .

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре будут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре будут переломы .

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре будут скачки на величину этих моментов.

Ординаты эпюры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре.

Прямой поперечный изгиб возникает в случае, когда все нагрузки приложены перпендикулярно оси стержня, лежат в одной плоскости и, кроме того, плоскость их действия совпадает с одной из главных центральных осей инерции сечения. Прямой поперечный изгиб относится к простому виду сопротивления и является плоским напряженным состоянием , т.е. два главных напряжения отличны от нуля. При таком виде деформации возникают внутренние усилия: поперечная сила и изгибающий момент. Частным случаем прямого поперечного изгиба является чистый изгиб , при таком сопротивлении имеются грузовые участки, в пределах которых поперечное усилие обращается в ноль, а изгибающий момент отличен от нуля. В поперечных сечениях стержней при прямом поперечном изгибе возникают нормальные и касательные напряжения. Напряжения являются функцией от внутреннего усилия, в данном случае нормальные – функцией от изгибающего момента, а касательные - от поперечной силы. При прямом поперечном изгибе вводятся несколько гипотез:

1) Поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются плоскими и ортогональными к нейтральному слою после деформации (гипотеза плоских сечений или гипотеза Я. Бернулли). Эта гипотеза выполняется при чистом изгибе и нарушается при возникновении поперечной силы, касательных напряжений, и появлением угловой деформации.

2) Взаимное давление между продольными слоями отсутствует (гипотеза о ненадавливании волокон). Из этой гипотезы следует, что продольные волокна испытывают одноосное растяжение или сжатие, следовательно, при чистом изгибе справедлив закон Гука .

Стержень, испытывающий изгиб, называют балкой . При изгибе одна часть волокон растягивается, другая часть – сжимается. Слой волокон, находящийся между растянутыми и сжатыми волокнами, называют нейтральным слоем , он проходит через центр тяжести сечений. Линию пересечения его с поперечным сечением балки называют нейтральной осью . На основе введенных гипотез при чистом изгибе получена формула для определения нормальных напряжений, которая применяется и при прямом поперечном изгибе. Нормальное напряжение можно найти с помощью линейной зависимости (1), в которой отношение изгибающего момента к осевому моменту инерции (
) в конкретном сечении является величиной постоянной, а расстояние (y ) вдоль оси ординат от центра тяжести сечения до точки, в которой определяют напряжение, меняется от 0 до
.

. (1)

Для определения касательного напряжения при изгибе в 1856г. русским инженером – строителем мостов Д.И. Журавским была получена зависимость

. (2)

Касательное напряжение в конкретном сечении не зависит от отношения поперечной силы к осевому моменту инерции (
), т.к. эта величина в пределах одного сечения не меняется, а зависит от отношения статического момента площади отсеченной части к ширине сечения на уровне отсеченной части (
).

При прямом поперечном изгибе возникают перемещения: прогибы (v ) и углы поворотов (Θ ) . Для их определения используют уравнения метода начальных параметров (3), которые получены путем интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки (
).

Здесь v 0 , Θ 0 , М 0 , Q 0 – начальные параметры, x – расстояние от начала координат до сечения, в котором определяется перемещение, a – расстояние от начала координат до места приложения или начала действия нагрузки.

Расчет на прочность и жесткость производят с помощью условий прочности и жесткости. С помощью этих условий можно решать поверочные задачи (выполнять проверку выполнения условия), определять размер поперечного сечения или подбирать допустимое значение параметра нагрузки. Условий прочности различают несколько, некоторые из них приведены ниже. Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

, (4)

здесь
– момент сопротивления сечения относительно оси z, R – расчетное сопротивление по нормальным напряжениям.

Условие прочности по касательным напряжениям выглядит как:

, (5)

здесь обозначения те же, что и в формуле Журавского, а R s – расчетное сопротивление срезу или расчетное сопротивление по касательным напряжениям.

Условие прочности по третьей гипотезе прочности или гипотезе наибольших касательных напряжений можно записать в следующем виде:

. (6)

Условия жесткости можно записать для прогибов (v ) и углов поворота (Θ ) :

где значения перемещений в квадратных скобках являются допустимыми.

Пример выполнения индивидуального задания № 4 (срок 2-8 неделя)

Изгибом называется деформация стержня, сопровождающаяся изменением кривизны его оси. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой .

В зависимости от способов приложения нагрузки и способов закрепления стержня могут возникать различные виды изгиба.

Если под действием нагрузки в поперечном сечении стержня возникает только изгибающий момент, то изгиб называют чистым .

Если в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами возникают и поперечные силы, то изгиб называют поперечным .

Рис. 1

Чтобы балка могла воспринимать нагрузку в плоскости, она должна быть закреплена с помощью опор: шарнирно-подвижной, шарнирно-неподвижной, заделкой.

Балка должна быть геометрически неизменяемой, при этом наименьшее количество связей равно 3. Пример геометрически изменяемой системы приведен на рис.2а. Пример геометрически неизменяемых систем – рис. 2б, в.

а) б) в)

В опорах возникают реакции, которые определяются из условий равновесия статики. Реакции в опорах являются внешними нагрузками.

Внутренние усилия при изгибе

Стержень, нагруженный силами перпендикулярными продольной оси балки, испытывает плоский изгиб (рис. 3). В поперечных сечениях возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q y и изгибающий момент М z .

Внутренние усилия M z и Q y в сечение определяются из условий равновесия.

Составляется уравнение равновесия для части С :

∑y = R A – P ­1 – Q y = 0.

ТогдаQ y = R A – P ­1 .

Вывод. Поперечная сила в любом сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, лежащих по одну сторону от проведённого сечения. Поперечная сила считается положительной, если вращает стержень относительно точки сечения по часовой стрелке.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a ) – M z = 0

Тогда M z = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a )

1. Определение реакций R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Построение эпюр на первом участке 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = R A = ; M z = R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Построение эпюр на втором участке 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; M z = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 M z (0) = 0 x 2 = b M z (b ) =

При построении M z положительные координаты будут откладываться в сторону растянутых волокон.

Проверка эпюр

1. На эпюре Q y разрывы могут быть только в местах приложения внешних сил и величина скачка должна соответствовать их величине.

+ = = P

2. На эпюре M z разрывы возникают в местах приложения сосредоточенных моментов и величина скачка равна их величине.

Дифференциальные зависимости между M , Q и q

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределённой нагрузки установлены зависимости:

q = , Q y =

где q – интенсивность распределённой нагрузки,

Проверка прочности балок при изгибе

Для оценки прочности стержня при изгибе и подбора сечения балки используются условия прочности по нормальным напряжениям.

Изгибающий момент представляет собой равнодействующий момент нормальных внутренних сил, распределённых по сечению.

s = ×y ,

где s – нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения,

y – расстояние от центра тяжести сечения до точки,

M z – изгибающий момент, действующий в сечении,

J z – осевой момент инерции стержня.

Для обеспечения прочности рассчитываются максимальные напряжения, которые возникают в точках сечения, наиболее удалённых от центра тяжести y = y max

s max = ×y max ,

= W z и s max = .

Тогда условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

s max = ≤ [s],

где [s] – допускаемое напряжение при растяжениях.